تحقیق مرکز سطح

تحقیق در مورد مرکز سطح دارای 34 صفحه و با فرمت word وقابل ویرایش میباشد

­فهرست مطالب

 

تعیین مرکز سطح 1

محاسبه ممان اینرسی 2

ممان اینرسی حاصلضرب 3

قضایای پاپوس 4

تعیین مرکز سطح

وقتی جسمی با چگالی ρ، ضخامت اندک و ثابتی برابر t داشته باشد، مطابق شکل زیر می‌توان آن را به صورت سطح مسطح A مدل‌سازی کرد. جرم هر جزء از این سطح عبارت است از dm=ρtdA. در این حالت اگر ρ و t در سرتاسر جسم ثابت باشند، مختصات مرکز جرم جسم، همان مختصات مرکز هندسی سطح (C) خواهد بود و با استفاده از معادله زیر می‌توان مختصات آن را بصورت زیر تعیین کرد:

 

صورت کسرهای معادلات فوق را گشتاور اول سطح می‌نامند. اگر سطح مطابق شکل زیر خمیده باشد، با هر سه نقطه سروکار داریم. در حالت کلی مرکز هندسی C سطح خمیده، روی آن سطح واقع نیست، اگر سطح موردنظر سطحی صاف (مثلاً در صفحه y-z) باشد، فقط باید مختصات C در آن صفحه را تعیین کرد.

 

در زیر چند عدد از مختصات‌ مرکز هندسی اشکال متداول آورده شده است:

مرکز هندسی کمان دایره:

 

مرکز هندسی سطح مثلث

 

مرکز سطح قطاع دایره:

 

محاسبه ممان اینرسی

هرگاه بر عضوی از سازه لنگری خمشی وارد شود، این عضو تمایل به انحنا دارد. سختی این عضو در برابر انحناء را بوسیله ممان اینرسی مقطع نشان می‌دهند. بعد ممان اینرسی از نوع طول می‌باشد و بر حسب توان چهارم سانتیمتر یا میلیمتر بیان می‌شود. هرچند ممان اینرسی بستگی به محوری دارد که ممان اینرسی نسبت به آن سنجیده می‌شود، اما در مسائل مربوط به محاسبه آن، ممان اینرسی را باید نسبت به تار خنثی بدست آوریم. ممان اینرسی مقاطع سازه در جدول‌هایی آمده است. مثلاً برای مقطع مستطیلی داریم:

 

اما برای مقاطع مرکب از رابطه کلی زیر استفاده می‌کنیم:

 

که در آن:

I_n: ممان اینرسی کل مقطع نسبت به محور خنثی

M: ممان لنگر استاتیک تمام اجزاء نسبت به محور مبنای y-y

A: مجموع سطوح تمام اجزای مقطع

I_y: ممان اینرسی نسبت به مرکز سطح هر جزء

ممان اینرسی حاصلضرب

ممان اینرسی حاصلضرب برای یک مقطع که از چندین جزء تشکیل شده است، عبارت است از مجموع جبری ممان اینرسی‌های حاصلضرب قسمت‌های مختلف آن.

 

که Ixy اگر در ربع اول و سوم باشد، با علامات مثبت و اگر در ربع دوم و چهارم باشد، با علامت منفی نشان داده می‌شود.

قضایای پاپوس

این قضیه روشی بسیار ساده است که برای محاسبه مساحت سطح حاصل از دوران یک منحنی مسطح حول محوری که صفحه منحنی را قطع نمی‌کند. در شکل زیر پاره خطی به طول L در صفحه x-y، وقتی حول محور x دوران می‌کند، سطحی را تولید می‌کند. جزئی از این سطح حلقه‌ای است که توسط dl تولید می‌شود. مساحت کل این حلقه برابر است با:

 

که در آن مختصه y مرکز سطح C خطی به طول L است.

رابطه ساده‌ای نیز برای محاسبه حجم حاصل از این دوران وجود دارد که به طریق مشابه بدست می‌آید. این رابطه به صورت زیر می‌باشد:

 

دو قضیه پاپوس، که توسط معادله‌های فوق بیان شدند، در تعیین سطح و حجم حاصل از دوران بکار می‌روند. در این روابط اگر خط یا سطحی به اندازه دوران کند، می توان با جایگزین کردن 2π با θ، معادله‌های سطح یا حجم تولید شده را بصورت زیر نوشت:

 

که در آن θ بر حسب رادیان است.

این قضایا منسوب به پاپوس اسکندرانی، هندسه‌دان یونانی که در قرن سوم قبل از میلاد می‌زیست، می‌باشد. این قضایا غالباً با نام گولدنیوس (پل گولدین 1643-1577) مطرح می‌شوند که مدعی ابداع آنها بود. هرچند یقین داریم که از آثار پاپوس اطلاع داشته است.